Лабораторная работа алгоритмы фильтрации сигналов в асутп цель - документ. Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов методом усреднения и исследование эффективности их работы Алгоритмы фильтрации сигналов

Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в момент отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала Целые числа тип определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.

Трансверсальные ЦФ.

Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где - последовательность коэффициентов.

Число является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.58), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.58), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющей -кратный полюс при и нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой, приведенной на рис. 15.7.

Рис. 15.7. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse - поперечный).

Программная реализация трансверсального ЦФ.

Следует иметь в виду, что структурная схема, изображенная на рис. 15.7, не является принципиальной схемой электрической цепи, а служит лишь графическим изображением алгоритма обработки сигнала. Используя средства языка ФОРТРАН, рассмотрим фрагмент программы, реализующей трансверсальную цифровую фильтрацию.

Пусть в оперативной памяти ЭВМ образованы два одномерных массива длиной М ячеек каждый: массив с именем X, в котором хранятся значения входного сигнала, и массив с именем А, содержащий значения коэффициентов фильтра.

Содержимое ячеек массива X меняется каждый раз с получением нового отсчета входного сигнала.

Предположим, что этот массив заполнен предыдущими отсчетами входной последовательности, и рассмотрим ситуацию, возникающую в момент прихода очередного отсчета, которому в программе просвоено имя S. Данный отсчет должен разместиться в ячейке с номером 1, но лишь после того, как предыдущая запись будет сдвинута на одну позицию вправо, т. е. в сторону запаздывания.

Элементы сформированного таким образом массива X почленно умножаются на элементы массива А и результат заносится в ячейку с именем Y, где накапливается отсчетное значение выходного сигнала. Ниже приводится текст программы трансверсальной цифровой фильтрации:

Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (15.59) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции дает вклад, равный соответствующему коэффициенту , смещенному на позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис. 15.7) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» .

Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.

Частотная характеристика.

Если в формуле (15.59) провести замену переменной то получим частотный коэффициент передачи

При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

Пример 15.4. Исследовать частотные характеристики трансверсального цифрового фильтра 2-го порядка, выполняющего усреднение текущего значения входного сигнала и двух предшествующих отсчетов по формуле

Системная функция этого фильтра

Рис. 15.8. Частотные характеристики трансверсального ЦФ из примера 15.4: а - АЧХ; б - ФЧХ

откуда находим частотный коэффициент передачи

Элементарные преобразования приводят к следующим выражениям для АЧХ в ФЧХ данной системы:

Соответствующие графики представлены на рис. 15.8, а, б, где по горизонтальным осям отложена величина - фазовый угол интервала дискретизации при текущем значении частоты.

Предположим, например, что , т. е. на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов. При этом входная последовательность будет иметь вид

(абсолютные значения отсчетов не играют роли, поскольку фильтр линеен). Используя алгоритм (15.62), находим выходную последовательность:

Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой, равной от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на 60° в сторону запаздывания.

Рекурсивные ЦФ.

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, и выходного сигнала:

(15.63)

причем коэффициенты , определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.

Системная функция рекурсивного ЦФ.

Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.63), находим, что системная функция

описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Структурная схема рекурсивного ЦФ.

На рис. 15.9 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.63). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае масштабных блоков (операций умножения) и ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига.

Рис. 15.9. Структурная схема рекурсивного ЦФ

Рис. 15.10. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел . В качестве примера на рис. 15.10 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция

Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:

(15.67)

Выполнив -преобразование уравнения (15.66), находим, что

С другой стороны, в соответствии с выражением (15.67)

Объединив соотношения (15.68) и (15.69), приходим к заданной системной функции (15.65).

Устойчивость рекурсивных ЦФ.

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т. е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивыу, если возникающий в нем свободный процесс, есть невозрастающая последовательность, т. е. значения при не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.63) являются решением линейного разностного уравнения

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.70) в виде показательной функции

с неизвестным пока значением . Подставив (15.71) в (15.70) и сократив на обший множитель, убеждаемся, что а является корнем характеристического уравнения

На основании (15.64) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней уравнения (15.72) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (15.70) будет иметь вид

Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции т. е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.73) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

Пример 15.5. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией

Характеристическое уравнение

имеет корни

Кривая, описываемая уравнением на плоскости коэффициентов есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже - комплексно сопряжены.

Для случая комплексно-сопряженных полюсов поэтому одной из границ области устойчивости является прямая 1.

Рис. 15.11. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка (полюсы фильтра комплексно сопряжены в области, отмеченной цветом)

Рассматривая вещественные полюсы при имеем условие устойчивости в виде

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования i -го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигналов (алгоритм фильтрации):

причем коэффициенты {b { ,b 2 ,...,b n _ Ц, определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно.

Запишем системную функцию рекурсивного ЦФ. Выполнив z- преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (7.28), находим, что системная функция описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет вид

Из этого выражения следует, что системная функция рекурсивного ЦФ имеет на z-плоскости (т-1) нулей и (п- 1) полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Рассчитаем импульсную характеристику рекурсивного ЦФ. Характерная черта, отличающая рекурсивный ЦФ от нерекурсивного, состоит в том, что из- за наличия обратной связи его импульсная характеристика имеет вид неограниченно-протяженной последовательности. Поэтому часто рекурсивные фильтры называют БИХ-филътрами {фильтры с бесконечной импульсной характеристикой). Покажем это на примере простейшего фильтра 1-го порядка, описываемого системной функцией

Как известно, импульсную характеристику можно найти с помощью обратного ^-преобразования системной функции. Используя формулу обратного ^-преобразования, находим m-й член в последовательности ... по данным лабораторных анализов; 5) ... требования к АСУТП . Технологические процессы... обработку и анализ информации (сигналов , сообщений, документов и т. ... алгоритмы фильтрации и алгоритмы устранения шумов с целью ...

Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Facebook

Twitter

Мой мир

Вконтакте

Google+

11.05.2020

Компьютер 

Самое интересное:

Обозначь каждый многоугольник измерь длины сторон каждого

Подключаем YouTube к телевизору

Названия больших чисел Решение составной задачи