Диаграмма – это средство наглядного графического изображения информации, предназначенное для сравнения нескольких величин или нескольких значений одной. Зачем использовать коэффициенты для сравнения двух величин и не различия? Используются для сравнения н

С самых давних пор людей серьезно интересовал вопрос о том, как удобнее всего сравнить величины, выраженные в разных значениях. И дело здесь не только в природной любознательности. Человек древнейших земных цивилизаций придавал этому довольно непростому делу сугубо прикладное значение. Корректно измерить землю, определить вес продукта на рынке, рассчитать необходимое соотношение товаров при бартере, определить верную норму винограда при заготовке вина - вот лишь малая толика задач, которые часто всплывали в и без того нелёгкой жизни наших предков. Поэтому малообразованные и неграмотные люди при необходимости сравнить величины шли за советом к своим более опытным товарищам, а те нередко брали за такую услугу соответствующую мзду, и довольно неплохую, кстати.

Что можно сравнивать

В наше время этому занятию также отводится немалая роль в процессе изучения точных наук. Всем, конечно, известно, что сравнивать необходимо однородные величины, то есть яблоки - с яблоками, а свеклу - со свеклой. Никому и в голову не придет попробовать выразить градусы Цельсия в километрах или килограммы в децибелах, зато длину удава в попугаях мы знаем с самого детства (для тех, кто не помнит: в одном удаве - 38 попугаев). Хотя попугаи тоже бывают разные, и на самом деле длина удава будет различаться в зависимости от подвида попугая, но это уже детали, в которых мы и попробуем разобраться.

Размерности

Когда в задании указано: "Сравни значения величин", необходимо эти самые величины привести к одному знаменателю, то есть выразить в одних и тех же значениях для удобства сравнения. Понятное дело, что сравнить значение, выраженное в килограммах, со значением, выраженным в центнерах или в тоннах, для многих из нас не составит особого труда. Однако существуют однородные величины, выразить которые можно в разных размерностях и, более того, в разных системах измерения. Попробуйте, например, сравнить величины кинематической вязкости и определить, какая из жидкостей является более вязкой в сантистоксах и квадратных метрах в секунду. Не получается? И не получится. Для этого нужно оба значения отразить в одних и тех же величинах, а уже по числовому значению определить, какое из них превосходит соперника.

Система измерения

Для того чтобы понять, какие величины можно сравнивать, попытаемся вспомнить существующие системы измерения. Для оптимизации и ускорения расчетных процессов в 1875 году семнадцатью странами (в том числе Россией, США, Германией и др.) была подписана метрическая конвенция и определена метрическая система мер. Для разработки и закрепления эталонов метра и килограмма был основан Международный комитет мер и весов, а в Париже обустроено Международное бюро мер и весов. Эта система со временем эволюционировала в Международную систему единиц, СИ. В настоящее время эта система принята большинством стран в области технических расчетов, в том числе и теми странами, где традиционно в повседневной жизни используются национальные (например, США и Англия).

СГС

Однако параллельно с общепринятым стандартом эталонов развивалась и другая, менее удобная система СГС (сантиметр-грамм-секунда). Она была предложена в 1832 году немецким физиком Гауссом, а в 1874 году модернизирована Максвеллом и Томпсоном, в основном в области электродинамики. В 1889 году была предложена более удобная система МКС (метр-килограмм-секунда). Сравнение предметов по величине эталонных значений метра и килограмма для инженеров гораздо более удобно, нежели использование их производных (санти-, милли-, деци- и др.). Однако данная концепция также не нашла массовый отклик в сердцах тех, для кого она предназначалась. Во всём мире активно развивалась и использовалась поэтому расчеты в СГС проводили всё реже, а после 1960 года, с введением системы СИ, СГС и вовсе практически вышла из употребления. В настоящее время СГС реально применяют на практике лишь при расчетах в теоретической механике и астрофизике, и то из-за более простого вида записи законов электромагнетизма.

Пошаговая инструкция

Разберём подробно пример. Допустим, задача звучит так: "Сравните величины 25 т и 19570 кг. Какая из величин больше?" Что нужно сделать перво-наперво, это определить, в каких величинах у нас заданы значения. Итак, первая величина у нас задана в тоннах, а вторая - в килограммах. На втором шаге мы проверяем, не пытаются ли нас ввести в заблуждение составители задачи, пытаясь заставить сравнивать разнородные величины. Бывают и такие задания-ловушки, особенно в быстрых тестах, где на ответ к каждому вопросу дается 20-30 секунд. Как мы видим, значения однородны: и в килограммах, и в тоннах у нас измеряется масса и вес тела, поэтому вторая проверка пройдена с положительным результатом. Третий шаг, переводим килограммы в тонны или, наоборот, тонны - в килограммы для удобства сравнения. В первом варианте получается 25 и 19,57 тонн, а во втором: 25 000 и 19 570 килограмм. И вот теперь можно со спокойной душой сравнить величины этих значений. Как наглядно видно, первое значение (25 т) в обоих случаях больше, чем второе (19 570 кг).

Ловушки

Как уже упоминалось выше, современные тесты содержат очень много заданий-обманок. Это необязательно разобранные нами задачи, ловушкой может оказаться довольно безобидный с виду вопрос, особенно такой, где напрашивается вполне логичный ответ. Однако коварство, как правило, кроется в деталях или в маленьком нюансе, которые составители задания пытаются всячески замаскировать. Например, вместо уже знакомого вам по разобранным задачам с постановкой вопроса: "Сравни величины там, где это возможно" - составители теста могут просто попросить вас сравнить указанные величины, а сами величины выбрать поразительно похожие друг на друга. Например, кг*м/с 2 и м/с 2 . В первом случае это сила, действующая на объект (ньютоны), а во втором - ускорение тела, или м/с 2 и м/с, где вас просят сравнить ускорение со скоростью тела, то есть абсолютно разнородные величины.

Сложные сравнения

Однако очень часто в заданиях приводят два значения, выраженные не только в разных единицах измерения и в разных системах исчисления, но и отличные друг от друга по специфике физического смысла. Например, в постановке задачи сказано: "Сравни значения величин динамической и кинематической вязкостей и определи, какая жидкость более вязкая". При этом значения указаны в единицах СИ, то есть в м 2 /с, а динамической - в СГС, то есть в пуазах. Как поступить в этом случае?

Для решения таких задач можно воспользоваться представленной выше инструкцией с небольшим её дополнением. Определяемся, в какой из систем будем работать: пусть это будет общепринятая среди инженеров. Вторым шагом мы также проверяем, а не ловушка ли это? Но в данном примере тоже всё чисто. Мы сравниваем две жидкости по параметру внутреннего трения (вязкости), поэтому обе величины однородны. Третьим шагом переводим из пуазов в паскаль-секунду, то есть в общепринятые единицы системы СИ. Далее переводим кинематическую вязкость в динамическую, умножая её на соответствующее значение плотности жидкости (табличное значение), и сравниваем полученные результаты.

Вне системы

Существуют также внесистемные единицы измерения, то есть единицы, не вошедшие в СИ, но согласно результатам решений созыва Генеральных конференций по мерам и весам (ГКВМ), допустимые для совместного использования с СИ. Сравнивать такие величины между собой можно только при их приведении к общему виду в стандарте СИ. К внесистемным относятся такие единицы, как минута, час, сутки, литр, электрон-вольт, узел, гектар, бар, ангстрем и многие другие.

Анализ данных начинается с группировки и вычисления описательных статистик в группах, например, вычисления средних и стандартных отклонений.

Если у вас имеется две группы данных, то естественно сравнить средние в этих группах. Такого рода задачи во множестве возникают на практике, например, вы можете захотеть сравнить средний доход двух групп людей: имеющих высшее образование и не имеющих высшего образования.

В данной главе мы будем иметь дело с переменными, измеренными в непрерывной шкале, такими переменными являются, например, доход или артериальное давление. Переменные, измеренные в бедных шкалах, исследуются с помощью специальных методов. В частности, категориальные переменные исследуются с помощью таблиц сопряженности (см. главу Анализ и построение таблиц). Переменные, измеренные в порядковых шкалах, исследуются методами непараметрической статистики (см. главу Непараметрическая статистика).

Рассмотрим типичную задачу. Предположим, при производстве бетона вы придумали добавлять в него некоторую новую компоненту и полагаете, что она увеличит прочность бетона. Чтобы проверить свои предположения и доказать их потребителю, вы взяли несколько образцов бетона с добавкой и несколько образцов без добавки и измерили прочность каждого образца.

Таким образом, получили два столбца (две группы) цифр: прочность образцов с добавкой и прочность образцов без добавки. Как разумно сравнить эти группы?

Очевидный подход состоит в том, чтобы сравнить описательные статистики, например, средние двух групп. Конечно, можно было бы сравнивать медианы или другие описательные статистики, но естественно начать со сравнения средних значений. Итак, вы имеете два средних: среднее для первой группы и среднее для второй группы.

Можно формально вычесть одно среднее из другого и по величине разности сделать вывод о наличии эффекта. Однако целесообразно принять во внимание разброс данных относительно средних, то есть вариацию (см. главу Элементарные понятия). Очевидно, разумная процедура должна принимать во внимание вариацию. Первое, что приходит в голову, - подходящим образом нормировать разность средних двух выборок (групп данных), поделив ее, например, на стандартное отклонение (корень квадратный из вариации).

Именно так и рассуждал В. Госсет - английский статистик, известный под псевдонимом Стьюдент, придумавший t-критерий для сравнения средних двух выборок.

Допустим, мы проверяем гипотезу о том, что добавка неэффективна (или как говорят на сленге анализа данных: нет эффекта обработки), иными словами, средние в двух группах равны. Этому положению соответствует альтернатива, согласно которой имеется эффект - прочность бетона увеличивается при добавлении в него новой компоненты.

Обратим внимание, альтернатива может быть выражена и по-другому, например, средние не равны или средняя прочность образцов увеличилось (добавка привела к увеличению прочности бетона).

Если вы случайным образом разбили выборку на две части и сравниваете показатели в первой и второй группе, то, скорее всего, вы имеете дело с независимыми группами.

В STATISTICA t-критерий доступен в обоих вариантах организации данных.

Естественным развитием сюжета сравнения средних является обобщение t-критерия на три и более групп данных, что приводит к дисперсионному анализу (в английской терминологии ANOVA - сокращение от Analysis of Variation - Дисперсионный анализ), а также на многомерный отклик. Если мы имеем дело с многомерным откликом, то используем методы MANOVA. Итак, методы дисперсионного анализа позволяют разумным образом сравнить групповые средние, если количество групп больше двух. Например, если вы хотите сравнить доход жителей нескольких регионов, то можно использовать дисперсионный анализ. Если вы исследуете два региона, то применяйте t-критерий.

Опишем один случай, не укладывающийся в общую схему. Представьте, вы изучаете категориальную переменную, принимающую два значения 0 и 1, и хотите сравнить различие частот появления единиц в двух группах. Например, вы желаете сравнить относительное число голосов, поданных за кандидата в двух избирательных округах. Термин относительное число означает число голосов, поданных за кандидата, деленное на общее число голосовавших. Статистический критерий для сравнения частот (долей, пропорций...) реализован в модуле Основные статистики и таблицы в диалоге Другие критерии значимости.

Т-критерий для независимых выборок

t-критерий является наиболее часто используемым методом, позволяющим выявить различие между средними двух выборок. Еще раз напомним, переменные должны быть измерены в достаточно богатой шкале, например, количественной.

Конечно, применение t-критерия имеет некоторые ограничения, впрочем, очень слабые.

Теоретически t-критерий может применяться, даже если размер выборки очень небольшой (например, 10; некоторые исследователи утверждают, что можно исследовать и меньшие выборки) и если переменные нормально распределены (внутри групп), а дисперсии наблюдений в группах не слишком различны. Известно, что t-критерий устойчив к отклонениям от нормальности.

Предположение о нормальности можно проверить, исследуя распределение (например, визуально с помощью гистограмм) или применяя критерий нормальности. Следует заметить, что эффективно проверить гипотезу о нормальности можно для достаточно большого объема данных (см. замечание Фишера о проверке нормальности, цитированное нами в главе Элементарные понятия анализа данных).

Более осторожно нужно подходить к различию дисперсий сравниваемых групп. Равенство дисперсий в двух группах, а это одно из предположений F-критерия, можно проверить с помощью F-критерия (который включен в таблицу вывода t-критерия в STATISTICA). Также можно воспользоваться более устойчивым критерием Левена.

При сравнении средних, как и всегда в анализе данных, чрезвычайно полезны визуальные методы. Например, на приведенной ниже категоризованной диаграмме размаха видно существенное различие средних значений для мужчин и женщин. На диаграмме точками показаны средние значения, а также стандартные отклонения (прямоугольники) и стандартные ошибки (отрезки прямых линий), вычисленные отдельно для мужчин и женщин.

На графике заметно различие дисперсий в группах - высота прямоугольника FEMALE больше высоты прямоугольника MALE.

Если условия применимости t-критерия не выполнены, то можно оценить различие между двумя группами данных, с помощью подходящей непараметрической альтернативы ^-критерию (см. главу Непараметрическая статистика, где обсуждается вопрос применения альтернативных процедур,).

Р-уровень значимости f-критерия равен вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу об отсутствии различия между средними выборок, когда она верна (то есть когда средние в действительности равны).

Некоторые исследователи предлагают в случае, когда рассматриваются отличия только в одном направлении (например, переменная X больше (меньше) в первой группе, чем во второй), рассматривать одностороннее t-распределение и делить полученный для двухстороннего t-критерия р-уровень пополам. Другие предлагают всегда работать со стандартным двухсторонним t-критерием.

Чтобы применить t-критерий для независимых выборок, требуется, по крайней мере, одна независимая (группирующая) переменная и одна зависимая переменная (например, тестовое значение некоторого показателя, которое сравнивается в двух группах).

Вначале с помощью значений группирующей переменной, например, мужчина и женщина, если группирующей переменной является Пол, или Имеет высшее образование и Не имеет высшего образования, если группирующей переменной является Образование, данные разбиваются на две группы. Далее в каждой группе вычисляется среднее значение зависимой переменной, например, артериальное давление или доход. Эти выборочные средние сравниваются между собой.

Конечно, при применении t-критерия, как и при применении любого другого критерия в анализе данных, нужно сохранять здравый смысл. Применение t-критерия мало оправданно, если значения двух переменных несопоставимы. Например, если вы сравниваете среднее значение некоторого показателя в выборке пациентов до и после лечения, но используете различные методы вычисления

количественного показателя или другие единицы во втором измерении, то высокозначимые значения t-критерия могут быть получены искусственно, за счет изменения единиц измерения. Аналогично, не имеет смысла сравнивать доходы, выраженные в рублях, при многократной девальвации или высокой инфляции.

В следующем разделе даются формулы вычисления статистики критерия Стьюдента для проверки равенства средних двух выборок. Если вас интересует только практическое применение, вы можете пропустить этот раздел.

Формальное определение t-критерия

Формально в случае двух групп (k = 2) статистика t-критерия имеет вид:

где х¯ 1 (n 1)м x¯ 2 (n 2) - выборочные средние первой и второй выборки, s ~2 -оценка дисперсии, составленная из оценок дисперсий для каждой группы данных:

Если гипотеза: «средние в двух группах равны» - верна, то статистика t^(n 1 +n 2 -2) имеет распределение Стьюдента с (n 1 +n 2 -2) степенями свободы (см. например, справочное издание Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д., Прикладная статистика., М.: Финансы и статистика, 1983. С. 395-397).

Большие по абсолютной величине значения статистики t^(n 1 + n 2 - 2) свидетельствуют против гипотезы о равенстве средних значений.

С помощью вероятностного калькулятора STATISTICA найдем 100a/2%-ю точку распределения Стьюдента с (n 1 + n 2 - 2) степенями свободы.

Обозначим найденную точку через ×

Если | t^(n 1 +n 2 -2)| > t(a /2), то гипотеза отвергается.

Заметим, что большие абсолютные значения статистики Стьюдента t^(n 1 +n 2 -2)могут возникнуть как из-за значимого различия средних, так и из-за значимого различия дисперсий сравниваемых групп.

Статистический критерий равенства или однородности дисперсии двух нормальных выборок основан на статистике:

которая при гипотезе: «дисперсии в двух группах равны» имеет распределение F(n 1 -1,n 2 -1).

Зададимся уровнем значимости a.

С помощью вероятностного калькулятора вычислим 100(1 - a/2)% и 100(a/2)% точки распределения F(n 1 -1, n 2 -1).

Если F 1-a/2 (n 1 -1, n 2 -1) < F(n 1 -1, n 2 -1) < F a/2 (n 1 -1, n 2 -1), то гипотеза об однородности дисперсии не отвергается.

Т-критерий для зависимых выборок

Степень различия между средними в двух группах зависит от внутригрупповой вариации (дисперсии) переменных.

В зависимости от того, насколько различны эти значения для каждой группы, «грубая разность» между групповыми средними показывает более сильную или более слабую степень зависимости между независимой (группирующей) и зависимой переменными.

Например, если при исследовании среднее значение WCC (число лейкоцитов) равнялось 102 для мужчин и 104 для женщин, то разность только на величину 2 между внутригрупповыми средними будет чрезвычайно важной в том случае, если все значения WCC мужчин лежат в интервале от 101 до 103, а все значения WCC женщин - в интервале 103-105. Тогда можно довольно хорошо предсказать WCC (значение зависимой переменной) исходя из пола субъекта (независимой переменной). Однако если та же разность 2 получена из сильно разбросанных данных (например, изменяющихся в пределах от 0 до 200), то разностью вполне можно пренебречь.

Таким образом, понятно, что уменьшение внутригрупповой вариации увеличивает чувствительность критерия.

Т-критерий для зависимых выборок дает преимущество в том случае, когда важный источник внутригрупповой вариации (или ошибки) может быть легко определен и исключен из анализа. В частности, это относится к экспериментам, в которых две сравниваемые группы наблюдений основываются на одной и той же выборке наблюдений (субъектов), которые тестировались дважды (например, пациенты до и после лечения).

В таких экспериментах значительная часть внутригрупповой изменчивости (вариации) в обеих группах может быть объяснена индивидуальными различиями субъектов. Заметим, что на самом деле такая ситуация не слишком отличается от той, когда сравниваемые группы совершенно независимы (см. t-критерий для независимых выборок), где индивидуальные отличия также вносят вклад в дисперсию ошибки. Однако в случае независимых выборок вы ничего не сможете поделать с этим, т. к. не сможете определить (или «удалить») часть вариации, связанную с индивидуальными различиями субъектов. Если та же самая выборка тестируется дважды, то можно легко исключить эту часть вариации.

Вместо исследования каждой группы отдельно и анализа исходных значений можно рассматривать просто разности между двумя измерениями (например, «до теста» и «после теста») для каждого субъекта. Вычитая первые значения из вторых (для каждого субъекта) и анализируя затем только эти «чистые (парные) разности», вы исключите ту часть вариации, которая является результатом различия в исходных уровнях индивидуумов.

В сравнении с t-критерием для независимых выборок, такой подход дает всегда «лучший» результат, так как критерий становится более чувствительным.

Теоретические предположения ^-критерия для независимых выборок также применимы к критерию зависимых выборок. Это означает, что парные разности должны быть нормально распределены. Если это не выполняется, то можно воспользоваться одним из альтернативных непараметрических критериев (см. главу Непараметрическая статистика).

В системе STATISTICA ^-критерий для зависимых выборок может быть вычислен для списков переменных и просмотрен далее как матрица. Пропущенные данные при этом обрабатываются либо попарным, либо построчным способом.

При этом возможно возникновение «чисто случайно» значимых результатов. Если вы имеете много независимых экспериментов, то «чисто случайно» можете найти один или несколько экспериментов, результаты которых значимы.

Как уже говорилось, сравнение средних в более чем двух группах проводится с помощью дисперсионного анализа (английское сокращение - ANOVA).

Если имеется более двух «зависимых выборок» (например, до лечения, после лечения-1 и послелечения-2), то можно использовать дисперсионный анализ с повторными измерениями. Повторные измерения в дисперсионном анализе можно рассматривать как обобщение f-критерия для зависимых выборок, позволяющее увеличить чувствительность анализа.

Например, дисперсионный анализ позволяет одновременно контролировать не только базовый уровень зависимой переменной, но и другие факторы и включать в план эксперимента более одной зависимой переменной.

Интересен следующий прием объединения результатов нескольких t-критери-ев. Этот прием можно использовать также для объединения результатов других критериев (см.: Справочник по прикладной статистике/Под редакцией Э. Ллойда и У. Ледермана, т. 1. М.: Финансы и статистика, 1989. С. 274). Для нас этот пример также интересен тем, что мы можем продемонстрировать новые возможности STATISTICA.

Пример 1

Предположим, используя независимые эксперименты, вы получили уровни значимости а(1), а(2) ... а(m). Предположим, эти уровни недостаточно убедительны. Если уровни значимости неубедительны, то, возможно, имеет смысл объединить данные и рассмотреть их как результат одного целого эксперимента.

При нулевой гипотезе уровни значимости, рассматриваемые как случайные величины, имеют равномерное распределение. Следовательно, величина

L = -2× (Ln(a(l)) + Ln(a(2)) + ... + Ln(a(m))

имеет хи-квадрат распределение с числом степеней свободы 2m.

Например, если в испытаниях на прочность бетона были получены недостаточно убедительные уровни 0,047, 0,054, 0,042, то уровень значимости объединенного эксперимента равен 0,005547 и гипотеза о неэффективности добавки явно отвергается.

Для того чтобы понять это, воспользуемся средствами системы STATISTICA. Сначала вычислим величину L, например, задав формулу в электронной таблице.

Создайте файл и в первой строке введите запись:

Переменная var7 содержит значение L, вычисленное по формуле.

Затем откройте вероятностный калькулятор системы STATISTICA, выберите в нем распределение хи-квадрат, введите число степеней свободы б, а в поле хи-квадрат введите величину 18,29.

В результате в поле р мы получили 0,005547.

Таким образом, получен объединенный уровень значимости трех t-критериев (сравните с результатами, приведенными в Справочнике по прикладной статистике, под редакцией Э. Ллойда и У. Ледермана, т. 1. М.: Финансы и статистика, 1989. С. 275). Это явно высокий уровень значимости, поэтому нулевая гипотеза отвергается.

Пример 2

Здесь мы будем работать с файлом intemet2000.sta. Можно также использовать файл ad.study.sta из папки Examples.

В файле intemet2000.sta собраны результаты опроса нескольких пользователей относительно их восприятия сайтов ENNUI и POURRITURE.

Такого рода данные несложно получить с помощью Интернет. Вы можете, например, вывесить на сайт анкету, которая будет заполняться посетителями.

В этом модельном примере пользователи оценивали сайты в разных шкалах (полнота, технологичность решения, информативность, дизайн и др.) В каждой из шкал респонденты давали оценку сайту по десятибалльной шкале, от 0 до 9 баллов.

Интересен вопрос: различается восприятие сайтов мужчинами и женщинами?

Мужчины могут в некоторых шкалах давать более высокие или низкие оценки по сравнению с женщинами.

Для решения этой задачи можно использовать t-критерий для независимых выборок. Группирующая переменная пол разбивает данные на две группы. Выборки мужчин и женщин будут сравнены относительно среднего их оценок по каждой шкале. Вернитесь к стартовой панели и щелкните на процедуре t-критерий для независимых выборок, чтобы открыть диалоговое окно Т-критерий для независимых выборок (групп).

Щелкните по кнопке Переменные , чтобы открыть стандартное диалоговое окно для выбора переменных. Здесь вы можете выбрать и независимые (группирующие), и зависимые переменные.

Для нашего примера выберите переменную GENDER как независимую переменную и переменные от 3 до 25 (содержащие ответы) в качестве зависимых переменных.

Щелкните ОК в этом диалоговом окне, чтобы вернуться в диалоговое окно , где отобразится ваш выбор.

Из диалогового окна Т-критерий для независимых выборок (групп) доступно также много других процедур.

Щелкните ОК для вывода таблицы результатов.

Самым быстрым способом изучения таблицы является просмотр пятого столбца (со держащего р-уровни) и определение того, какие из р-значений меньше установленного уровня значимости 0,05.

Для большинства зависимых переменных средние по двум группам (МУЖЧИНЫ - MALES и ЖЕНЩИНЫ - FEMALES) очень близки.

Единственная переменная, для которой f-критерий соответствует установленному уровню значимости 0,05, - это Measur 7, для нее р-уровенъ равен 0,0087. Как показывают столбцы, содержащие средние значения (см. две первые колонки), для мужчин эта переменная принимает в среднем существенно большие значения - в выбранной шкале измерений для мужчин она равна 5,46, а для женщин - 3,63. При этом нельзя исключить вероятность того, что пол ученная разница на самом деле отсутствует и получилась лишь в результате случайного совпадения (см. ниже), хотя это выглядит маловероятным.

Графиком по умолчанию для этих таблиц результатов является диаграмма размаха. Для построения этой диаграммы щелкните правой кнопкой мыши в любом месте строки, соответствующей зависимой переменной (например, на среднем для Measur 7).

В открывшемся контекстном меню выберите построение графика Диаграмма размаха из подменю Быстрые статистические графики . Далее выберите опцию Среднее/ст.ош./ст.откл . окна. Диаграмма размаха и нажмите OK для построения графика.

Разность средних на графике выглядит более значительной и не может быть объяснена только на основании изменчивости исходных данных.

Однако на графике заметно еще одно неожиданное отличие. Дисперсия для группы женщин намного больше дисперсии для группы мужчин (посмотрите на прямоугольники, которые изображают стандартные отклонения, равные корню квадратному из вариации).

Если дисперсии в двух группах существенно отличаются, то нарушается одно из требований для использования г-критерия, и разность средних должна рассматриваться особенно внимательно.

Кроме того, дисперсия обычно коррелирована со средним значением, то есть чем больше среднее, тем больше дисперсия.

Однако в данном случае наблюдается нечто противоположное. В такой ситуации опытный исследователь предположил бы, что распределение переменной Measur 7, возможно, не является нормальным (для мужчин, женщин или для тех и других).

Поэтому рассмотрим критерий разности дисперсий для того, чтобы проверить, является ли наблюдаемое на графике отличие действительно заслуживающим внимания.

Вернемся к таблице результатов и прокрутим ее вправо, увидим результаты F-критерия. Значение F-критерия действительно соответствует указанному уровню значимости 0,05, что означает существенную разность дисперсий переменной Measur 7 в группах МУЖЧИНЫ - MALES и ЖЕНЩИНЫ - FEMALES.

Однако значимость наблюдаемой разности дисперсий близка к граничному уровню значимости (ее р-уровенъ равен 0,029).

Большинство исследователей посчитало бы один этот факт недостаточным для признания недействительным t-критерия разности средних, дающего высокий уровень значимости для этой разности (р - 0,0087).

Множественные сравнения

При проведении сравнений средних в трех и более группах можно использовать процедуры множественных сравнений. Сам термин множественные сравнения означает просто многократные сравнения.

Проблема состоит в следующем: мы имеем n > 2 независимых групп данных и хотим разумным образом сравнить их средние. Предположим, мы применили F-критерий и отклонили гипотезу: «средние всех групп равны». Наше естественное желание - найти однородные группы, средние которых равны между собой.

Конечно, мы можем сравнить группы с помощью t-критерия и найти путем многократных сравнений однородные группы. Но, оказывается, трудно вычислить ошибку выполненной процедуры или, как говорят, составного критерия, отправляясь от заданного уровня значимости каждого t-критерия.

Тонкость состоит в том, что сравнивая с помощью t-критерия много групп, вы чисто случайно можете обнаружить эффект. Представьте, что в 1000 клиник вы провели испытание нового лекарства, сравнивая в каждой клинике группу больных, принимающих препарат, с группой больных, принимающих плацебо. Конечно, чисто случайно может найтись клиника, где вы найдете эффект. Однако с высокой степенью вероятности, это может быть арт-эффект.

Чтобы обезопасить себя от подобного рода случайностей, используются специальные критерии для множественных или многократных сравнений.

В системе STATISTICA процедуры множественного сравнения реализованы в модуле Основные статистики и таблицы в диалоге

Описание процедур множественного сравнения можно найти, например, в книге: Кендаял М. Дж. и Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. С. 71-79.

Заметим, что самые общие методы сравнения нескольких групп реализованы в модуле Общий дисперсионный анализ.

Однофакторный дисперсионный анализ можно провести в модулеОсновные статистики и таблицы.

Однофакторный дисперсионный анализ и апостериорные сравнения средних

Итак, если вы хотите продвинуться в исследовании различий нескольких групп, то дальнейший анализ следует вести в диалоге группировка и однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA). Мы работаем с данными, которые находятся в файле adstudy.sta (папка Examples).

Сделайте вслед за нами следующие установки.

Вначале стандартным образом выберите группирующие и зависимые переменные в файле данных.

Затем выберите коды для группирующих переменных. С помощью этих кодов наблюдения в файле разбиваются на несколько групп, сравнение которых мы будем проводить.

После того как выбраны переменные для анализа и определены коды группирующих переменных, нажмите кнопку ОК и запустите вычислительную процедуру.

В появившемся окне вы можете всесторонне просмотреть результаты анализа.

Посмотрите внимательно на диалоговое окно. Результаты можно отобразить в виде таблиц и графиков. Например, можно проверить значимость различий в средних с помощью процедуры Дисперсионный анализ.

Щелкните на кнопкеДисперсионный анализ , и вы увидите результаты однофакторного дисперсионного анализа для каждой зависимой переменной.

Заметьте, что в таблице дисперсионного анализа мы имеем уже дело с F-критперием.

Как следует из результатов, для переменных Measur 5, Measur 7 и Measur 9 процедура однофакторного Дисперсионного анализа дала статистически значимые результаты на уровне р<0,05.

Эти результаты показывают, что различие средних значимо. Итак, с помощью F-критерия (этот критерий обобщает t-критерий на число групп больше двух) мы отвергаем гипотезу об однородности сравниваемых групп.

Возвратитесь в диалоговое окно результатов и нажмите кнопку Апостериорные сравнения средних для того, чтобы оценить значимость различий между средними конкретных групп. Прежде всего нужно выбрать зависимую переменную. В данном примере выберем переменную Measur 7.

После того как вы нажмете ОК в окне выбора переменной, на экране появится диалоговое окно Апостериорные сравнения средних.

В этом окне можно выбрать несколько апостериорных критериев.

Выберем, например, Критерий наименьшей значимой разности (НЗР).

Критерий НЗР эквивалентен t-критерию для независимых выборок, основанному на N сравниваемых группах.

t-критерий для независимых выборок показывает (проверьте на STATISTIC А!), что имеется значимое различие между ответами МУЖЧИН - MALES и ответами ЖЕНЩИН - FEMALES для переменной Measur 7.

Используя процедуруГруппировка и однофакторная ANOVA, мы видим (см. таблицу результатов), что значимое различие средних имеется только для лиц, выбравших СОКЕ.

Графическое представление результатов . Различия средних можно увидеть на графиках, доступных в диалоговом окне Внутригрупповые описательные статистики и корреляции - Результаты.

Например, для того чтобы сравнить распределения выбранных переменных внутри групп, щелкните по кнопке Категоризованные диаграммы размаха и выберите опцию Медиана/кварт./размах из диалогового окна Диаграмма размаха.

После того как вы нажмете OK , STATISTICA построит каскад диаграмм размаха.

Из графика видно, -что между группой FEMALE - СОКЕ и группой MALE - СОКЕ имеется явное различие.

Такого рода анализ с последовательно усложняющейся группировкой и сравнением средних в получающихся группах, особенно часто применяемый в массовых обследованиях, может быть с успехом выполнен в STATISTICA.

Типы диаграмм Круговая диаграмма- служит для сравнения нескольких величин в одной точке. Она особенно полезна, если величины составляют нечто целое (100%) Пример 1: Имеются оценки за контрольную работу по классу. 8 человек получили – «5», 13 человек- «4», 6 человек – «3» и один – «2». Решение:

Столбчатая диаграмма – для задачи в которой требуется несколько раз сравнить несколько величин. Пример 3: Пусть несколько магазинов одной фирмы продавали компьютеры. Их данные о прибыли за соответствующий день недели занесли в таблицу: В отличие от предыдущей диаграммы, в каждой опорной точке будет стоять не один столбик, а три- по одному для каждого магазина. Все столбики одного магазина будут закрашены одинаково.

Ярусная диаграмма – позволяет наглядно сравнить суммы нескольких величин в нескольких точках, и при этом показать вклад каждой величины в общую сумму. По данным примера 3 построим ярусную диаграмму. Данная диаграмма отражает долю каждого магазина в общей сумме.

Тип диаграммы «График» - служит для того, чтобы проследить за изменением нескольких величин при переходе от одной точки к другой. Областная диаграмма – гибрид ярусной диаграммы с линейной. Позволяет одновременно проследить изменение каждой из нескольких величин и изменение их суммы. В нескольких точках

Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг" title="Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг" class="link_thumb"> 8 Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаграмма. Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг"> Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаграмма."> Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг" title="Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг"> title="Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг">

2. Выбираем форму диаграммы. Доступные формы перечислены в списке Тип на вкладке Стандартные. Для выбранного типа диаграммы справа указывается несколько вариантов представления данных (Вид), из которых следует выбрать наиболее подходящий. Нажимаем кнопку Далее.

3. На этом шаге мы увидим как будет выглядеть наша диаграмма. Справа от диаграммы появляется Легенда, которая содержит необходимые пояснения к диаграмме. Окно Диапазон: содержит диапазон адресов ячеек, содержащих данные для диаграммы. Установите необходимые параметры и щелкните по кнопке Далее.

Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.

Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.

Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:

В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).

Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!

Сначала рассмотрим задачу сравнения величины измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее по измерениям. Надо узнать, выполняется ли соотношение . В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную:

а) по известной величине найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью

б) найти вероятность того, что , где а - заданная константа.

Очевидно, если то вероятность того, что меньше 1/2. Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что

Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по измерениям определены X и его стандарт

Число измерений будем считать не очень малым, так что есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности выполняется условие

Полагая перепишем это выражение в следующем виде:

где - заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью превышает

Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом:

Это значит, что надо вычислить t по известным значениям а, выбрать в таблице 23 строку с данным - и найти по величине t соответствующее значение Оно определяет искомую вероятность

Две случайные величины. Часто требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину - например, увеличивает ли (и насколько) прочность металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е. найти

Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через . Величина исследуемого эффекта равна и требуется определить, выполняется ли условие

Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом:

а) по результатам измерений найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью (т. е. оценить величину исследуемого эффекта);

б) определить вероятность того, что где а - желательная величина эффекта; при это означает, чтонадо определить вероятность, с которой

Для решения этих задач надо вычислить z и дисперсию этой величины. Рассмотрим два способа их нахождения.

Независимые измерения. Измерим величину в экспериментах, а величину экспериментах, независимых от первых экспериментов. Вычислим средние значения по обычным формулам:

Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) приближенно определяются несмещенными оценками:

Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х и у также независимы, так что при вычислении их математические ожидания вычитаются, а дисперсии складываются:

Несколько более точная оценка дисперсии такова:

Таким образом, и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24).

Согласованные измерения. Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из экспериментов одновременно измеряют . Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки.

При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение одной случайной величины , которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21)-(24), где вместо надо всюду подставить z.

Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют , не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы.

Пример. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» - гимнастика, фигурное катание и т. д.

Таблица 24. Судейские оценки в баллах

В таблице 24 приведен протокол соревнований по выездке на Олимпийских играх 1972 г. Видно, что разброс судейских оценок велик, причем ни одну оценку нельзя признать грубо ошибочной и откинуть. На первый взгляд кажется, что достоверность определения победителя невелика.

Рассчитаем, насколько правильно определен победитель, т. е. какова вероятность события . Поскольку оценки обеим всадницам выставлялись одними и теми же судьями, можно воспользоваться способом согласованных измерений. По таблице 24 вычисляем подставляя в формулу (24) эти значения и получим .

Выбирая в таблице 23 строку находим, что этому значению t соответствует Отсюда т. е. с вероятностью 90% золотая медаль присуждена правильно.

Сравнение по способу независимых измерений даст несколько худшую оценку, поскольку оно не использует информацию о том, что оценки выставляли одни и те же судьи.

Сравнение дисперсий. Пусть требуется сравнить две методики эксперимента. Очевидно, точнее та методика, у которой дисперсия единичного измерения меньше (разумеется, если при этом не увеличивается систематическая ошибка). Значит, надо установить, выполняется ли неравенство .