Главная > Интернет > Прохождение сигналов через линейные цепи. Прохождение случайных процессов через линейные цепи Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи

Прохождение сигналов через линейные цепи. Прохождение случайных процессов через линейные цепи Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи

Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается изменениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены, прежде всего, линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также наличием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов. С точки зрения передачи информации по каналу, важно подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Как будет показано (см. § 4.2), обратимые преобразования не влекут за собой потери информации. При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обратимых преобразований сигнала часто используют термин "искажение", а необратимые преобразования называют помехами (аддитивными и не аддитивными).

Примером простейшего детерминированного обратимого преобразования входного сигнала X(t), которое не меняет его форму, служит

Y(t) = kX(t-τ). (3.1)

В данном случае выходной сигнал канала Y(t) отличается от входного лишь известным масштабом k, который легко компенсируется соответствующим усилением или ослаблением сигнала и постоянной задержкой во времени τ. Она чаще всего невелика. По существу, лишь при связи в масштабах космоса или при очень большом числе реактивных элементов линии связи задержка может оказаться ощутимой * .

* (Здесь идет речь о задержке в самой линии связи, а не о задержках в демодуляторе и декодере, которые могут быть значительными и иногда лимитируют возможность повышения помехоустойчивости. )

Если входной сигнал X (t) в (3.1) узкополосный, его удобно представить в квазигармонической форме (2.68): X(t) = A(t)cos× X [ω 0 t+Φ(t)], где A(t) и Φ(t) -медленно меняющиеся функции. Поэтому при достаточно малой задержке т можно в первом приближении считать A (t-τ) ≈ A(t) и Φ(t-τ)≈Φ(t), а выходной сигнал в (3.1) записать следующим образом:

Y (t) = kA(t-τ) cos[ω 0 (t-τ) + Φ(t-τ) ≈ kА (t) cos[ω 0 t+Φ(t)-θ К ], (3.2)

где θ К =ω 0 τ - фазовый сдвиг в канале. Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к некоторому сдвигу фазы.

В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шумом, преобразования сигналов имеют сложный характер и обычно приводят к отличию формы выходного сигнала от входного.

Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов:

определение корреляционной функции (энергетического спектра) отклика Y(t) на выходе динамической системы, заданной своими характеристиками по данной корреляционной функции (или энергетического спектра) входного воздействия X(t);

определение многомерного распределения отклика Y(t) на выходе заданной динамической системы по многомерному распределению входного воздействия X (t).

Вторая из указанных задач является более общей. Из ее решения, очевидно, может быть получено решение и первой задачи. Однако в дальнейшем в основном ограничимся кратким рассмотрением первой задачи и лишь укажем возможные пути решения второй, более сложной задачи.

Прохождение случайных сигналов через детерминированные линейные цепи. Как известно, линейная цепь с постоянными параметрами характеризуется своей импульсной реакцией g(t) или ее преобразованием Фурье-передаточной функцией k(iω). Если, например, на вход цепи поступает центрированный процесс X(t), то процесс Y (t) на выходе определяется интегралом Дюамеля *

В физически реализуемой цепи при t

* (Здесь и в дальнейшем интегрирование случайных процессов понимается в среднеквадратическом смысле [см. ф-лу (2.8)]. )

Найдем функцию корреляции центрированного выходного процесса Y (t):

где θ 1 = t 1 -τ 1 θ 2 = t 2 -τ 2 ; B X (θ 1 -θ 2) - функция корреляции входного сигнала.

Пусть входной процесс стационарен. Тогда B X (θ 1 -θ 2) = B(θ), где θ=θ 2 -θ 1 . Введем также обозначения t 2 -t 1 =τ, t 1 -θ 1 = τ 1 . Тогда t 2 -θ 2 = τ+τ 1 -θ и

где использована "временная функция корреляции" (ВФК) от неслучайной импульсной реакции

В данном случае β = τ - θ.

Из (3.4) видно, что при стационарном входном процессе и выходной процесс оказывается стационарным, так как B Y (t 1 ,t+τ) не зависит от t 1 . Поэтому можно записать

Полученное равенство является аналогом интеграла Дюамеля для корреляционных функций. Таким образом, ФК выходного процесса является интегральной сверткой ФК входного процесса и ВФК импульсной реакции цепи.

Заметим, что ВФК импульсной реакции связана преобразованием Фурье с квадратом модуля передаточной функции |k(iω)| 2 или амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цепи. Действительно,

Из теории преобразования Фурье известно, что преобразование Фурье от свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье от этих функций. Применив это к (3.5), получим простое соотношение между спектральными плотностями стационарных процессов на входе и на выходе линейной цепи с постоянной передаточной функцией k (iω):

G Y (J) = G X (f)|k(i2πf)| 2 (3.7)

Из (3.5) и (3.7) следует, что ФК и спектр процесса на выходе цепи полностью определяются ФК или спектром процесса на входе и АЧХ цепи, т. е. не зависят ни от распределения вероятностей входного процесса, ни от фазо-частотной характеристики цепи.

Рассмотрим пример прохождения случайных процессов через детерминированные линейные системы - прохождение белого шума с энергетическим спектром N 0 через последовательный колебательный контур с параметрами R, L, С. Если выходное напряжение снимается с емкости, то комплексный коэффициент передачи контура

Резонансная частота,

В области малых расстроек |k(ω)| 2 = ω 2 0 /{4[β 2 + (ω-ω 0) 2 ]}, β = R/(2L), и согласно (3.7) энергетический спектр на выходе

G Y (ω) = N 0 ω 2 0 /{4[β 2 + (ω - ω 0) 2 ]}.

Корреляционная функция на выходе

При подаче сигнала X(t) на детерминированную линейную цепь с переменными параметрами выходной сигнал Y(t). как известно, можно выразить интегралом свертки:

где g(t, τ) - функция двух переменных, определяющая реакцию системы в момент t на δ-импульс, поданный на вход в момент t-τ.

представляет передаточную функцию линейной цепи с переменными параметрами, которая, естественно, является функцией не только частоты, но и времени.

Поскольку в физически реализуемой цепи отклик не может возникнуть раньше воздействия, то g(t, τ)=0 при τ

Задача нахождения распределения вероятностей отклика линейной системы при произвольном случайном воздействии оказывается в общем случае весьма сложной, даже если ограничиться нахождением одномерного распределения. Отметим, однако, что если на вход линейной детерминированной системы подан гауссовский процесс, то и процесс на выходе оказывается гауссовским, что следует из известных свойств нормального распределения, которое остается нормальным при любых линейных преобразованиях. Если процесс на входе не гауссовский, то при прохождении линейной системы его распределение вероятностей меняется иногда весьма существенно.

Отметим общее свойство, присущее линейным системам. Если полоса частот F С, занимаемая входным сигналом X(t), много шире полосы пропускания данной линейной системы, то распределение выходного процесса имеет тенденцию приближаться к нормальному. Это можно грубо пояснить, исходя из (3.8). Узкая полоса пропускания означает, что длительность импульсной реакции g(t, τ) как функции τ велика по сравнению с интервалом корреляции входного процесса X(t). Поэтому сечение выходного процесса Y(t) в любой момент t определяется интегралом (3.8), в подынтегральную функцию которого с достаточно большим весом входит много некоррелированных между собой сечений процесса X(t). Распределение вероятностей такого интеграла согласно центральной предельной теореме должно быть близким к нормальному, тем ближе, чем больше отношение ширины спектра входного сигнала к полосе пропускания цепи. В предельном случае, если на вход цепи воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна, а цепь имеет ограниченную полосу пропускания, то выходной процесс будет строго гауссовским.

Прохождение узкополосных случайных сигналов через линейные полосовые цепи. Как отмечалось в § 2.4, относительно узкополосные процессы (т. е. такие, у которых ширина спектра значительно уже средней частоты) удобно представлять в квазигармонической форме (2.68). Если средняя частота ω 0 задана, то такой узкополосный сигнал полностью определяется своей комплексной огибающей A(t) (2.70) или ее действительной и мнимой частями (квадратурными составляющими) A C (t) и A S (t), которые являются низкочастотными процессами, т. е. их спектры занимают область частот более низких, чем спектр самого сигнала. Такое представление во многих случаях, на этапах синтеза и анализа систем передачи сигналов (сообщений), очень полезно. Так, для представления (2.72) на интервале Т рядом Котельникова потребуется 2T(f 0 + F) отсчетов, для представления же на том же интервале Т двух независимых низкочастотных вещественных функций A C (t) и A S (t) (или одной комплексной функции A(t)), достаточно 4FT отсчетов, т. е. примерно в f 0 /2F раз меньше.

Заметим также, что при необходимости моделировать узкополосные сигналы и систему связи с такими сигналами на вычислительной машине или при необходимости реализации различных преобразований таких сигналов на основе современной микроэлектронной базы, возникают трудности, чаще всего практически непреодолимые, из-за ограниченного быстродействия этих машин или соответствующих микросхем. Естественно, что значительно проще в этих случаях оперировать низкочастотными эквивалентами сигналов, которыми являются составляющие огибающей.

Выражение для низкочастотного эквивалента Ȧ x (t) узкополосного сигнала (2.72), определяемое из (2.70,а):

А Х (t) = X(t) ехр [-iω 0 t]

имеет согласно (2.32) спектр по Фурье

S Ȧ X (iω) = Sx.

Рисунок 3.1 иллюстрирует спектральные соотношения для вещественного узкополосного сигнала X * (t) (рис. 3.1,а), аналитического сигнала X (t) (рис. 3.1,6) и его низкочастотного эквивалента А̇ Х (t) (рис. 3.1,в).

* (Полезно напомнить, что спектр S X (iω) вещественного сигнала X(t) симметричен относительно начала координат, S * X (-iω) = S X (iω) (т. e. амплитудный спектр - четная функция частоты, а фазовый - нечетная, или вещественная часть S X (iω) - четная функция частоты, а мнимая - нечетная). )

Основная часть реальных непрерывных каналов связи относится к линейным и узкополосным, поэтому сигналы на их выходе могут рассматриваться как реакция на узкополосный сигнал Х(t) полосового фильтра с передаточной функцией k(iωt), модуль которой имеет характер рис. 3.1,а. Преимущества представления сигналов с помощью низкочастотного эквивалента (комплексной огибающей) возникают вследствие того, что полосовую фильтрацию узкополосного сигнала можно интерпретировать как фильтрацую комплексных низкочастотных сигналов комплексными же низкочастотными фильтрами.

Рассмотрим прохождение узкополосного сигнала X(t) через узкополосный канал (полосовой фильтр) с постоянными параметрами и передаточной функцией k(iω) (рис. 3.2,а).

Узкополосный входной сигнал (2.72)

Учитывая предшествующую сноску, нетрудно показать, что спектр сопряженной комплексной огибающей A * X (t) = A C (t) - iA S (t) равен S * Ȧ X (-iω), где (iω) - спектр по Фурье от A X (t). Поскольку умножению функции времени на е ±itω 0 соответствует сдвиг спектра по оси частот на ±ω 0 , то для спектра Фурье функции X(t), определяемой (3.10), можно записать

Аналогично полагая, что средняя частота входного сигнала ω 0 совпадает с центральной частотой пропускания фильтра, можно представить передаточную функцию полосового фильтра (преобразование Фурье импульсной реакции фильтра g(t) *

где Γ -спектр Фурье комплексного (аналитического) сигнала ġ(t) = g(t) +ig̃(t) = γ̇(t)e itω 0 образованного из g(t). Величина Γ(iω) является спектральной характеристикой комплексной огибающей γ̇(t) импульсной реакции фильтра g(t), т. е. низкочастотным эквивалентом узкополосного канала.

* (Отметим, что функции Γ и Γ*[-i(ω+ω 0)], будучи по модулю симметричными относительно оси ординат для полосового фильтра не перекрываются, так как первая практически целиком лежит в области положительных частот, а вторая отрицательных. Аналогичное утверждение справедливо и для функций S Ā и S* Ȧ [-i(ω+ω 0)] узкополосного сигнала. )

Теперь найдем спектр Фурье сигнала на выходе канала y(t). С одной стороны, поскольку этот сигнал узкополосный со средней частотой спектра ω 0 , можно аналогично (3.11) записать

где S Ȧ y - спектр Фурье комплексного (аналитического) сигнала ẏ(t) = y(t) + iȳ(t) = Ȧ y e itω 0 , при этом S Ȧ y (iω) является спектром комплексной огибающей Ay(t) выходного сигнала. С другой стороны, для линейной системы с постоянными параметрами спектральные характеристики сигналов на входе и выходе связаны соотношением

S y (i ω) - Sx (iω)k(iω). (3.14)

Подставляя в (3.14) соотношения (3.11) и (3.12) и учитывая сноску на стр. 78, получаем

Из (3.13) и (3.15)

Как следствие комплексная огибающая сигнала на выходе узкополосного канала A y (t) получается как свертка комплексной огибающей входного сигнала A x (t) и комплексной огибающей импульсной реакции фильтра γ̇(t)

Если фильтр неискажающий, т. е. Γ(iω) = γe -it 0 ω или ġ(t) = γδ(t-t 0), то, используя фильтрующее свойство б-функции, из (3.17) получим

Запишем комплексные огибающие через синфазные и квадратурные компоненты:

Ȧ X (t) = A X,C (t) + iA X,S (t);

γ̇(t) = γ C (t) + iγ S (t);

Ȧ y (t) = A Y,C (t) + iA Y,S (t), (3.18)

Тогда из (3.17)

В частной области соотношения (3.19) принимает вид:

Итак, полосовая фильтрация с передаточной функцией k (iω) узкополосного

процесса x(t) эквивалентна низкочастотной фильтрации с передаточной функцией Γ(iω) комплексного низкочастотного процесса Ȧ x (t) (см. рис. 3.2).

Процессы А Х,С и А Х,S можно получить из x(t) в устройстве, функциональная схема которого представлена на рис. 3.3,а. Действительно, умножая x(t) на 2cos ω 0 t получим

[ A X,С (t) cos ω 0 t + A X,S (t) sin ω 0 t] 2 cos ω 0 t = A X,C (t) + A X,C (t) cos 2 ω 0 t + A X,S (t) sin 2ω 0 t, (3.21)

а ФНЧ пропустит только первый низкочастотный остальные два члена являются высокочастотными и будут фильтром задержаны. Аналогично во второй ветви выделится квадратурная составляющая A X,S (t).

Теперь рассмотрим, как можно реализовать комплексную низкочастотную фильтрацию (3.19) или (3.20) три помощи реальных низкочастотных фильтров (у такого фильтра отклик на вещественный сигнал вещественен или передаточная функция удовлетворяет условию сноски на стр. 77), оперируя квадратурными составляющими. Это осуществляется согласно (3.19) или (3.20) двухканальной фильтрацией вещественных низкочастотных синфазной и квадратурной компонент (рис. 3.3,6).

Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи. Ограничимся рассмотрением только безынерционных нелинейных систем с регулярными параметрами, у которых вход и выход связаны некоторой нелинейной зависимостью, называемой характеристикой системы:

y(t) = φ, (3.22)

Соотношением (3.22) достаточно точно может охарактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, например входящих в состав демодуляторов, ограничителей, модуляторов и т. п. Преобразование x(t)→y(t), как правило, однозначно, что не всегда можно сказать об обратном преобразовании y(t)→x(t) (например, квадратичная цепь с характеристикой y = kx 2). В силу неприменимости суперпозиции к нелинейным системам рассмотрение сложного воздействия (например, суммы детерминированного и случайного слагаемых) нельзя свести к рассмотрению прохождения каждой из составляющих в отдельности.

При нелинейных преобразованиях возникает трансформация (изменение) спектра входного воздействия. Так, если на вход нелинейной системы воздействует смесь регулярного сигнала и аддитивного шума X(t) = u(t) + N(t) в узкой полосе частот F c , группирующейся около средней частоты f 0 , то в общем случае на выходе будут присутствовать составляющие комбинационных частот трех видов, группирующиеся около частот nf 0 (n = 0, 1,...), продукты биений составляющих входного сигнала между собой (с×с), продукты биений составляющих входного шума (ш×ш); продукты биений сигнала и шума (с×ш). Разделить их на выходе системы обычно невозможно.

Если известны характеристика y = φ(х) нелинейной системы и двумерная функция распределения входного воздействия w(x 1 , х 2 , t 1 , t 2), то основные статистические характеристики выходного процесса, в принципе, всегда можно определить. Так, математическое ожидание отклика

а его корреляционая функция

Обратным преобразованием Фурье можно по (3.24) найти и энергетический спектр.

Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно, в принципе, находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределение входного процесса. Однако определение вероятностных характеристик отклика нелинейных систем (цепей) даже на стационарные входные воздействия оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специальных приемов. Во многих случаях, особенно для узкополосных сигналов, эти расчеты существенно упрощаются при использовании квазигармонического представления процесса.

В качестве примера рассмотрим прохождение через квадратичный детектор суммы гармонического сигнала s(t) = U 0 cos ω 0 t и стационарного квазибелого узкополосного шума n(t) = Х cn (t) × X cos ω 0 t + X sn sin ω 0 t, где X cn (t), X sn (t) - не коррелированные квадратурные гауссовские компоненты шума, у которых m Х сп = m X sn = 0, В X cn (τ) = В X sn (τ) = В(τ), а энергетический спектр равномерен и ограничен полосой частот F n

Методические указания к лабораторной работе

Лабораторная работа по исследованию преобразования спектров сигналов нелинейных цепях используется в процессе изучения курса “Радиотехнические цепи и сигналы” студентами специальности 201600  “Радиоэлектронные системы”. Лабораторная работа “ Прохождение сигналов через нелинейные цепи ” построена на базе алгоритмов дискретного преобразования Фурье и выполнена в форме приложения для Windows 95...98/2000/ Millenium / NT .

Ил. 7, список лит. 4 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией приборостроительного факультета для специальности 201600  “Радиоэлектронные системы”.

Рецензент Н. Г. Гайсов.

 Издательство ЮУрГУ, 2002

1. Введение

Лабораторная работа выполняется с использованием цифровой программной модели лабораторного стенда, выполненной в форме Windows - приложения. Укрупнённая структурная схема модели приведена на рис.1.

Рис. 1.

Назначение всех элементов этой схемы очевидно и не требует дополнительных пояснений.

модулем формирования сигнала , поступает в модуль нелинейного преобразования, вычисляющий реализацию выходного сигнала. Модуль спектрального анализа, вычисляет спектры входного и выходного сигналов. Вычисленные Амплитудные спектры сигналов отображаются модулем отображения в соответствующих окнах.

Одновременно в соответствующих окнах отображаются реализации входного и выходного сигналов

Более подробное описание модели стенда приведено в приложении к данным методическим указаниям.

Цель лабораторной работы

Ознакомиться с методами представления характеристик нелинейных цепей;

Закрепить теоретические положения анализа прохождения сигналов через нелинейные цепи;

Экспериментально исследовать зависимость характеристик спектра, формы и основных параметров сигнала на выходе нелинейной цепи, от формы и параметров входного сигнала и вида и характеристик нелинейной цепи (особое внимание следует уделить исследованию деформации спектра сигнала нелинейной цепью);

Проверить степень согласования экспериментальных данных с соответствующими теоретическими положениями.

3. Расчетное задание

Рассчитать и построить спектры на входе и выходе нелинейной цепи для двух трёх сигналов, заданных преподавателем и для двух форм нелинейной характеристики, также заданных преподавателем (задание выдаётся на подготовительном занятии).

4. Порядок выполнения работы и методические указания

Перед началом выполнения лабораторной работы необходимо:

Ознакомиться с приведенным в приложении описанием цифровой программной модели лабораторного стенда.
Спланировать программу лабораторного исследования в соответствии с целью лабораторной работы.
Выбрать и согласовать с преподавателем виды сигналов и виды нелинейных цепей, которые позволят Вам наиболее полно и наглядно объяснить влияние характеристик нелинейной цепи на характеристики спектра сигналов.

При выполнении лабораторной работы необходимо получить семейство графиков, характеризующих зависимость характеристик спектров от формы и параметров сигналов и формы и параметров нелинейной цепи.

При выполнении работы обратите внимание на возможные отклонения расчётных и экспериментальных данных.

В связи с тем, что физический смысл факторов, определяющих связь спектральных и временных характеристик сигналов, довольно сложно выяснять, не имея графических иллюстраций, рекомендуется сохранять для помещения в отчёт наиболее характерные осциллограммы сигналов и их спектров, изображенных в главном окне приложения (в графической форме, или в форме текстового файла).

5. Требования к содержанию отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы:

Материалы экспериментального исследования с указанием условий эксперимента, в том числе, с указанием временной структуры сигнала и его параметров.
Результаты выполнения расчетного задания. Графические изображения расчетных и экспериментальных зависимостей для одинаковых условий необходимо строить на общих координатных осях и в одинаковом масштабе .
Анализ результатов эксперимента с обоснованием причин выявленных отклонений результатов эксперимента от расчетных данных.
Список литературы, использованной при подготовке к лабораторной работе и при выполнении расчетного задания.

6.Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте основные способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов.

2. Что такое угол отсечки? Как для усилителя с отсечкой определить угол отсечки?

3. Дайте сравнительную характеристику условий применимости двух видов коэффициентов Берга ().

4. Найдите спектральный состав выходного сигнала, если её характеристика имеет вид полного полинома третьей степени, а на вход подаётся: а) гармонический сигнал с частотой ; б) бигармонический сигнал вида .

5. Какие члены полинома, аппроксимирующего характеристику нелинейной цепи, участвуют в определении амплитуд третьей и шестой гармоник выходного сигнала, если на вход подаётся гармонический сигнал?

6. В каких случаях нелинейный элемент можно рассматривать как линейный элемент с переменными параметрами?

7. Поясните работу резонансного усилителя с отсечкой в режиме больших колебаний. Изобразите его эквивалентную схему.

8. Нарисуйте схему резонансного умножителя частоты на n и поясните требования к параметрам нелинейного элемента схемы.

9. Из каких соображений выбирается оптимальный угол отсечки в схеме резонансного умножителя частоты.

10. Нарисуйте эквивалентную схему ограничителя амплитуды и поясните её принцип действия. Что называют характеристикой ограничения?

Гоноровский И. Р. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ВУЗов 4-е изд., перераб. И доп. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.: ил.
Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для ВУЗов по спец. «Радиотехника» - 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1988. 208 с.:ил.
Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учебное пособие для ВУЗов/Под ред. И. С. Гоноровского М.: Радио и связь, 1989. 248 с.:ил.
Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. Вузов. 2-е изд., перераб. И доп. М.: Высш. шк., 2002. 214 с.: ил.

Приложение

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛАБОРАТОРНОГО СТЕНДА

1.П. Общие положения.

Для исследования характеристик спектрального анализа периодических сигналов Вашему вниманию предлагается программная цифровая модель, оснащённая удобным интерфейсом управления параметрами сигналов и визуального контроля деформации спектра при изменении параметров сигнала.

Структурная схема модели приведена на рисунке 1.П. Назначение всех элементов этой схемы очевидно и не требует дополнительных пояснений.

Рис. 1.П.

Сигнал, сформированный управляемым модулем формирования сигнала , поступает в модуль нелинейного преобразования , вычисляющий реализацию выходного сигнала . Модуль спектрального анализа , вычисляет спектры входного и выходного сигналов. Вычисленные амплитудные спектры и реализации сигналов отображаются модулем отображения в соответствующих окнах в форме осциллографических изображений.

Условия эксперимента, определяемые формой и параметрами сигнала, а также характеристиками нелинейного преобразователя, задаются в главном рабочем окне приложения.

Параметры и форма сигнала и нелинейного преобразователя, задаются с помощью соответствующих элементов ввода и редакции данных, расположенных на поле главного рабочего окна.

2.П. Главное рабочее окно приложения

Сигналы и их спектры на входе и выходе нелинейной цепи, а также характеристика нелинейной цепи отображаются модулем отображения в главном рабочем окне, в поле для визуального контроля, в форме осциллографического изображения. Примерный вид главного рабочего окна приведён на рисунке 2.П.

Рис. 2.П.

Массивы отсчётов сигналов и значений амплитудных спектров формируются и обновляются при любых изменениях параметров сигнала и могут быть сохранены в форме текстовых файлов для использования в отчётах по лабораторной работе. Для сохранения данных эксперимента воспользуйтесь меню главного окна «Сохранить/Имидж окна», «Сохранить/Значения сигнала», «Сохранить/Спектры сигналов» или «Сохранить/Все данные» (см. Рис. 3.П.)

Рис. 3.П.

Значения сигнала и спектральный ряд сигнала, сохранённые в текстовых файлах, могут быть использованы в других работах лабораторного комплекса по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы».

Формат данных текстового файла значений сигнала имеет следующий вид:

Строка символов (заголовок в произвольной форме, содержащий номер эксперимента)

Строка символов (возможно, шапка таблицы: Отсчёт Уровень)

Строка данных: Целое без знака ( Integer ) Реальное со знаком (Float )

Строка данных: Целое без знака ( Integer ) Реальное со знаком ( Float )

Формат данных текстового файла спектров сигналов имеет следующий вид:

Строка символов («Спектр входного сигнала в эксперименте № » Целое без знака( Integer ))

Строка символов

Строка данных: Целое без знака ( Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )

… (Всего 135 строк)

Строка данных: Целое без знака ( Integer ) Реальное со знаком ( Float ) Реальное со знаком (Float )

Строка символов («Спектр выходного сигнала » Целое без знака( Integer ))

Строка символов (возможно, шапка таблицы: Отсчёт Амплитуда Фаза)

Строка данных: Целое без знака ( Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )

… (Всего 135 строк)

Строка данных: Целое без знака ( Integer ) Реальное со знаком ( Float ) Реальное со знаком (Float )

Вид входного сигнала задаётся в главном рабочем окне приложения с помощью меню «Входной сигнал», а его амплитуда с помощью окна редактирования, оснащённого кнопками типа « Up / Down ».Все изменения немедленно отражаются в изображении осциллограмм сигналов и спектров.

Считывание числовых значений отсчётов сигналов или значений любого из амплитудных спектров можно осуществить, приблизительно совместив положение курсора «мыши» с необходимым элементом осциллограммы и нажав левую клавишу «мыши» (см. Рис. 4.П.).

Рис. 4.П.

Вид характеристики нелинейной цепи выбирается с помощью меню главного окна «Характеристика Н.Э.». Уровень ограничения или уровень отсечки в характеристике нелинейной цепи управляются с помощью движковых регуляторов (См. Рис. 5.П.).

Рис. 5.П

В нижней части главного рабочего окна приложения (см. Рис. 2.П.) помещено окно редактирования номера эксперимента. Номер эксперимента необходим для правильного распознавания сохранённых данных, и при смене вида сигнала наращивается автоматически. Однако при изменении только параметров входного сигнала и нелинейной цепи необходимо корректировать его вручную, если сохраняются данные эксперимента для одной и той же формы сигнала, но при разных значениях его параметров.

3.П. Окно ввода произвольной формы сигнала.

Для исследования нелинейного преобразования сигнала произвольной формы служит специальное окно «Задание формы сигнала», которое вызывается из меню главного рабочего окна «Вид сигнала / Произвольный» .

Вид окна «Произвольный сигнал» приведён на рисунке 6.

Рис. 6.

В этом окне можно редактировать форму сигнала, оперируя соответствующими кнопками, или загрузить данные из файла с расширением. txt , содержащего отсчёты в текстовой форме. Такой файл может быть вызван из специальной библиотеки или подготовлен при выполнении расчётного задания в процессе подготовки к лабораторной работе.

Для загрузки отсчётов сигнала из текстового файла необходимо вызвать диалог загрузки, нажав клавишу «Загрузить».

Для загрузки отсчётов сигнала из текстового файла необходимо вызвать диалог загрузки, нажав клавишу «Загрузить». Формат данных текстового файла описан выше.

Для использования загруженных или отредактированных отсчётов сигнала необходимо нажать клавишу «Принять», а для отмены данных клавишу «Отменить».

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса на выходе системы: , и .

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными

функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (3.3.3) будет определиться выражением

(3.4.3)

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

(3.4.4)

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (3.4.3) и (3.4.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

(3.4.5)

Плотность распределения вероятности и числовые характеристики сигнала на выходе безынерционной нелинейной цепи.

Баскаков стр. 300 – 302

Прохождение случайных сигналов через нелинейные безинерционные цепи.

Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения выходного процесса в данный момент времени определяются значениями входного процесса в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных преобразований более простой задачей является определение функций распределения на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического спектра.

Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.

Рассмотрим простейший пример одномерной случайной величины. Пусть - плотность вероятности случайной величины ζ, которая подвергается нелинейному преобразованию . Определим плотность вероятности случайной величины η. Предположим, что функция такова, что обратная ей функция – однозначна.

Если случайная величина ζ находится в достаточно малом интервале , то вследствие однозначной функциональной зависимости между ζ и η случайная величина η обязательно будет находиться в интервале , где , вероятности этих событий должны быть одинаковыми, т.е. (3.4.13)

откуда находим

(3.4.14)

Производная в последнем выражении берется по абсолютной величине, так как плотность вероятности не может быть отрицательной. Если обратная функция неоднозначная, т.е. имеет несколько ветвей , то для плотности вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей можно получить

(3.4.15)

Отметим, что для определения числовых характеристик нелинейно-преобразованных случайных процессов нет необходимости определять их плотности вероятностей. Действительно, в общем случае для начального момента k-го порядка имеем

(3.4.16)

Но согласно (3.4.13) и . Поэтому последнее выражение можно переписать

(3.4.17)

Полученные выражения (3.4.14) и (3.4.15) легко распространить на случай нескольких величин. Приведем здесь лишь окончательный результат для двумерного случая. Если случайные величины и имеют совместную плотность вероятностей , то для случайных величин

(3.4.18)

при однозначности обратных функций

совместная плотность вероятностей будет определяться выражением

Где величина

называется якобианом преобразования и представляет собой отношение элементарных площадей при переходе от одной системы координат к другой. Если , то справедливо равенство

где

Вопрос № 23

Дискретная импульсная последовательность, их спектр.

Баскаков стр. 382-383

Дискретизация периодических сигналов. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Восстановление исходного сигнала по ДПФ. Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).

Баскаков стр. 388-392

Вопрос № 24

Принцип цифровой обработки (ЦО) сигналов на основе дискретного преобразования Фурье.

Баскаков стр. 400-405

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации (трансверсальные ЦФ, рекурсивные ЦФ, импульсная характеристика, сигнал на выходе)

Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).

Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;

Мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;

Для НФ проще вычисление коэффициентов.

Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

Рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;

Схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;

Рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще не- реализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра бесконечная, а нерекурсивного конечная.

Баскаков стр. 405-408, 409-411, 413

Вопрос №25

Понятие отношения сигнал/шум, фильтрации и оптимального фильтра.

Отношение сигнал/шум - безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.

Фильтрация - это процесс обработки сигнала частотно-избирательными устройствами с целью изменения спектрального состава сигнала.

Оптимальным линейным фильтром называют частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом. На выходе максимизирует отношение сигнал/шум.

Баскаков стр. 423-424

Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.

Баскаков стр. 425, 431-432

Характеристики оптимального (согласованного) фильтра для сигналов известной формы (АЧХ, ФЧХ, ИХ).

Сигнал на выходе согласованного фильтра.

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть

усечённая реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Её спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (1.3) будет определяться выражением

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на Линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (2.3) и (2.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

В качестве первого примера рассмотрим прохождение белого шума со спектральной плотностью через идеальный фильтр нижних частот, для которого

Согласно (2.3) энергетический спектр процесса на выходе будет иметь равномерную в полосе частот спектральную плотность , а корреляционная функция будет определяться выражением

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

В качестве второго примера рассмотрим прохождение белого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-частотная характеристика которого для положительных частот (рис. 1.6) определяется выражением:

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-преобразования Фурье:

График корреляционной функции показан на рис. 1.7

Рассмотренные примеры показательны с той точки зрения, что они подтверждают установленную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастотного и узкополосного высокочастотного процессов с одинаковой формой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от закона распределения на входе, и определение его является весьма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше его ширины спектра, то на выходе системы имеет место явление нормализации закона распределения. Это явление заключается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом.

Процесс на выходе инерционной системы в некоторый момент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного процесса в различные моменты вре мени. Чем уже полоса пропускания системы и шире спектр входного процесса, тем большим числом элементарных откликов образуется выходной процесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляющего собой сумму большого числа элементарных откликов, будет стремиться к нормальному.

Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.

В гл. 6 рассматривалась передача различных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным и выходным сигналами в таких цепях определялась с помощью передаточной функции (спектральный метод) или с помощью импульсной характеристики (метод интеграла наложения).

Аналогичные соотношения можно составить и для линейных цепей с переменными параметрами. Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется. Иными словами, передаточная функция цепи зависит не только от но и от времени; импульсная характеристика также зависит от двух переменных: от интервала между моментом приложения единичного импульса и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными параметрами) и, кроме того, от положения интервала на оси времени. Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную характеристику следует записывать в общей форме

Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой действует произвольный сигнал s(t) (рис. 10.2), то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выражением (6.11) можно определить с помощью выражения

(10.12)